做题技巧

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一、穿根引线法

• 当遇到 $(x-1)(x+2)(x-9)>0$ 这种不等式时，可用穿根引线法来解决，即：画一根从左往右的正向数轴，将所有根 $x=1,x=-2,x=9$ 按大小标注在数轴上，再从最右根的右上方往左下划线穿过根到达数轴下方，再继续穿过“次右根”上去，一上一下一次穿过各根，直到穿过最左根
  • 规定：一定要保证不等式左边的 $x$ 的系数为正数，若不等式为：$(1-x)(x+3)(x-6)>0$，此时 $x$ 的系数为负数，需要将其变为正数，则等式左右两边均乘-1，不等式变为：$(x-1)(x+3)(x-6)<0$ 后，方可使用穿根引线法
  • 性质：奇过偶不过
    • 如果因式中，$x$ 的幂为偶数次，如：$(x-1{)}^2,(x+3{)}^4$等，则穿根时不穿过数轴；如果为奇数次幂，如：$(x+1),(x-8{)}^3$等，则穿根时要穿过数轴
  • 判断 >0 或是 < 0，则看数轴上下方曲线即可

二、极限问题（）

🌟🌟🌟遇见(根式-根式)的，能化简就先化简

"抓大头"用法

在$x\to \mathrm{\infty }$时，找次数最大的系数 在$x\to 0$时，找次数最小的系数 详情请见基础30讲P104最上方处

（1）七种未定式解法

1. $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$型

• 如：$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^x-x}{e^x+x}$ 要注意，趋向无穷分为正无穷和负无穷，而$e^x$ 趋向正无穷和趋向负无穷的值是不同的，需要分类讨论，其他类似函数也同样需要分类讨论，以减少错误

（2）极限四则运算

• 若$lim\frac{f(x)}{g(x)}=A$，且 $limg(x)=0$，则$limf(x)=0$；^[1]
• 若$lim\frac{f(x)}{g(x)}=A\ne 0$，且 $limf(x)=0$，则$limg(x)=0$；
  • 详细证明见基础30讲P93例题1.20
  • 🌟🌟🌟🌟适用范围：分子(或分母)已知极限趋于0，而分母(或分子)中含有字母，极限也为字母时可用，如：$\underset{x\to -2}{lim}\frac{2x^3+a{x}^2-3x+6}{x+2}=b$ 即可使用这个定理，可推出分子也趋于0，立刻可得出a的值

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1. 重点：适用于解决极限问题中求未知数a，b的情况 ↩︎