知识汇总

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一、导数定义：

• 函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处导数存在 $\iff$ $f(x)$ 在该点的左右导数均存在且相等
• 函数在某点导数存在 $\Rightarrow$ 函数在该点必定连续
  • 注意！！！该定义说的是：如果函数在某点的导数存在，则该函数在该点连续，而不是指导函数在该点连续
  • 若函数在某点连续 $\Rightarrow$ 不一定在该点可导
• 🌟🌟🌟导数存在的条件：导数在某点的左右导数均存在且相等，则该函数在该点可导
• $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导 $\nRightarrow$ $f(x)$ 在 $x=x_0$ 附近可导 （可以联系一下连续的这个类似结论，一起记忆，即：函数在某点连续，则在该点附近不一定连续）

二、🌟例题重要结论

1. 🌟🌟🌟🌟🌟设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处连续，$F(x)=f(x)|x-a|$，则 $f(a)=0$ 是 $F(x)$ 在 $x=a$ 处可导的充要条件
   • 证明见基础30讲P152，例题3.5
   • 强化理解：见例题3.6

三、导数重要结论

• $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续 $\Rightarrow$ $|f(x)|$ 在 $x_0$ 处连续
• $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导 $\nLeftrightarrow$ $|f(x)|$ 在 $x_0$ 处可导
• 🌟🌟🌟若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，$f(x_0)=0$ 且 $f\prime (x_0)\ne 0$ $\Rightarrow$ $|f(x)|$ 在 $x_0$ 处必定不可导 ^[1]
• 🌟🌟🌟若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且 $f(x_0)\ne 0$ $\Rightarrow$ $|f(x)|$ 在 $x_0$ 处可导
• 某点导数存在，则该点一定存在切线；反之，若某点存在切点，不一定有导数（如：铅直切线，导数为无穷大，即：不存在）

四、微分

微分与导数的关系

• 🌟可微一定可导，可导一定可微
• 区分可导与可微
  • 可微：$\mathrm{\Delta }y=dy+O(\mathrm{\Delta }x)$ ，其中 $dy=A\mathrm{\Delta }x$，$A$ 为 $f\prime (x_0)$
  • 可导：$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}$ 或 $\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ ；注意广义化的使用
    • 广义化：$\underset{\mathrm{狗}\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{狗})-f(x_0)}{\mathrm{狗}}$

可微的判别

五、需要记忆的函数

1. 奇函数：$g(x)=\frac{1}{2^x+1}-\frac{1}{2}$

贡献者

freeway348

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1. 重点记忆：原函数可导与绝对值函数可导的关系 ↩︎