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一、函数

• 定义：对于每一个$x\in D（D\mathrm{是}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{域}）$，有一个确定的y值与之对应，则称y为x的函数，记作$y=f(x)$
  • 我们这里所说的函数指的是单值函数
• 🌟🌟🌟判断单值函数/多值函数：铅直划线法
  • 画出函数图像后，作铅直线，若任一条铅直线与$f(x)$至多有一个交点，则$f(x)$为单值函数，否则为多值函数

函数的四大性质

1. 有界性（）

• 1
  • 证明有界性时，$x^2=|x{|}^2=|x^2|$ 很有用，可用于：$|x|=\sqrt{x^2}$ ，再使用基本不等式进行判断

2. 单调性（）

• 注意区分严格单增与单调不减

3. 奇偶性

🌟🌟🌟前提：定义域关于原点对称

• 基本类型：
  1. $f(x)+f(-x)$必定是偶函数
  2. $f(x)-f(-x)$必定是奇函数
     • 任意函数都可以写成一个奇函数和一个偶函数之和的形式：$f(x)=\frac{1}{2}[f(x)+f(-x)]+\frac{1}{2}[f(x)-f(-x)]=u(x)+v(x)$ ，$u(x)$是偶函数，$v(x)$是奇函数
  3. $f[\varphi (x)]\text{(内偶则偶，内奇则外)}$
  4. $f(x)\mathrm{奇}\Rightarrow f\prime (x)\mathrm{偶}\Rightarrow f\prime \prime (x)\mathrm{奇}\Rightarrow \cdots .$
  5. $f(x)\mathrm{奇}\Rightarrow {\int }_0^{x}f(t)dt\mathrm{偶}$
  6. 对于任意的$x,y$，都有$f(x+y)=f(x)+f(y)$，则$f(x)$是奇函数，证明可见基础30讲P60

4. 周期性

• 设$f(x)$的定义域为$D$，如果存在一个正数$T$，使得对于任一$x\in D$ ，有$x\pm T\in D$，且$f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$为周期函数，T为$f(x)$周期，一般指最小正周期
• 🌟🌟🌟重要结论：
  1. 若$f(x)$以$T$为周期，则$f(ax+b)$以$\frac{T}{|a|}$为周期（$f(kx)$是$f(x)$在水平方向上拉伸了$\frac{1}{k}$的结果）
  2. 若$g(x)$是周期函数，则复合函数$f(g(x))$也是周期函数，如$e^{\sin x},co{s}^{2}x$（基础30讲P61）
  3. 若$f(x)$是以$T$为周期的可导函数，则$f\prime (x)$也以$T$为周期，见例3.1(基础30讲)
  4. 若$f(x)$是以$T$为周期的连续函数，则只有在${\int }_0^{T}f(x)dx=0$时，${\int }_0^{x}f(x)dx$也以$T$为周期，见例9.25(基础30讲)
     • 后两点可以在后面章节学完之后再回头看

特殊函数值

• $a^0=1$，$e^0=1$

三角函数与反三角函数

• 🌟🌟🌟重要结论：
  1. $1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x$
  2. $1+co{t}^{2}x=cs{c}^{2}x$
  3. $\arctan x+arccotx=\frac{\pi }{2}$（x取值在负无穷到正无穷之间）

二、反函数

• 前提：满足铅直划线法，即：原函数（或称：直接函数）必须为单值函数
• 定义：若对于每一个$y\in R(R\mathrm{是}\mathrm{值}\mathrm{域})$，必定存在唯一的$x\in D$，使得$y=f(x)$成立，则由此得到了一个新的函数$x=\varphi (y)$，这个函数称为函数$y=f(x)$的反函数，一般记作$x=f^{-1}(y)$ ，该反函数的定义域为R，值域为D
• 🌟🌟🌟判断一个函数是否有反函数：水平划线法
  • 在符合铅直划线法的条件下，作水平直线，若任一条水平直线与$f(x)$至多有一个交点，则$f(x)$有反函数
• 🌟🌟🌟重要关系：
  • $f[f^{-1}(x)]=x$
  • $f^{(}-1)[f(x)]=x$
    • 如：$e^{\ln 2^x}=2^x=e^{x\ln 2}$
• 🌟🌟🌟🌟🌟重要函数（需要具体记忆图像与函数）：
  • 
  • 反双曲正弦函数的反函数表达式及定义域求法见基础30讲P53
  • 🌟🌟🌟🌟重要结论：
    1. 当$x\to 0$ 时，$\ln (x+\sqrt{x^2+1})\sim x$，即：当$x\to 0$ 时，反双曲正弦函数$\ln (x+\sqrt{x^2+1})$与$x$ 是等价无穷小
    2. $[\ln (x+\sqrt{x^2+1})]\prime =\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$，于是，$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx=\ln (x+\sqrt{x^2+1})+C$
    3. 由于$y=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$ 是奇函数，于是${\int }_{-1}^1[\ln (x+\sqrt{x^2+1})+x^2]dx={\int }_{-1}^1{x}^{2}dx=\frac{2}{3}$

极限

• 初步：在加减法运算中，不能使用等价无穷小替换
• 在求极限时，若lim f(x) 不为0，则可直接代入
  • 只要代入后不为未定式，即可代入

超实数

• 必须做完实数运算后才能进行趋核运算，不能作了趋核运算后又去做实数运算，详情例子说明见基础30讲P79^[1]

P83往后（）

函数极限性质（）

1. 唯一性：
2. 局部有界性：
3. 局部保号性：

等价无穷小

等价无穷小代换条件

已知$\sin x\sim x$，则当$\mathrm{狗}\to 0，\mathrm{且}\mathrm{趋}\mathrm{近}\mathrm{于}0\mathrm{的}\mathrm{过}\mathrm{程}\mathrm{中}，\mathrm{狗}\ne 0\mathrm{时}，\sin \mathrm{狗}\sim \mathrm{狗}$。如果遇到震荡函数，需要使用等价无穷小代换时要特别注意‘因为等价无穷小强调的是"等价"，如果狗=0，则说明狗是更高阶的无穷小，无法用等价无穷小代换，因为0是最高阶的无穷小

• 注意等价无穷小广义化后的使用条件！！！

• 🌟🌟🌟🌟🌟当$x\to 0$ 时，常用的等价无穷小有：^[2]

  1. $\sin x\sim x$
  2. $\tan x\sim x$
  3. $\arctan x\sim x$
  4. $\arcsin x\sim x$
  5. $\ln (1+x)\sim x$
  6. $e^x-1\sim x$
  7. $a^x-1\sim x\ln a$
     • 可由第六点等价无穷小推出：$\mathrm{当}x\to 0\mathrm{时},x\ln a\to 0,a^x-1=e^{x\ln a}-1\sim x\ln a$ ，即：等价无穷小的广义化使用
  8. $1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$
  9. $x-\ln (1+x)\sim \frac{1}{2}{x}^2(x\to 0)$
     • 该式子由$\ln (1+x)$泰勒展开得到
     • 同时可得：$x-\ln (1+x)\sim 1-\cos x$
  10. $(1+x{)}^a-1\sim ax$
  11. $\ln (x+\sqrt{1+x^2})\sim x$
  12. $1-(\cos x{)}^a\sim \frac{1}{2}a{x}^2$
  13. $(1+x{)}^{\frac{1}{x}}-e\sim -\frac{e}{2}x(x\to 0^{+})$
      • 过程可见基础30讲P102，同时要记住该页中有关$(1+x{)}^{\frac{1}{x}}$和$(1+\frac{1}{x}{)}^x$在$x\to 0$时的图像

函数大小比较

• 当$x\to \mathrm{\infty }$时，有：${\ln }^{\alpha }x<<x^{\beta }<<a^x<<x^x$ ，其中$\alpha ,\beta >0,a>1$ ，符号<<表示远远小于；^[3]
• 当$n\to \mathrm{\infty }$时，有：${\ln }^{\alpha }n<<n^{\beta }<<a^n<<n!<<n^n$，其中$\alpha ,\beta >0,a>1$

泰勒公式

• 定义：设$f(x)$在点$x=0$处n阶可导，则存在$x=0$的一个邻域，对于该邻域内的任一点x，有：$f(x)=f(0)+f\prime (0)x+\frac{f\prime \prime (0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+o(x^n)$

• 🌟🌟🌟🌟🌟常用重要函数的泰勒公式：^[4]

  1. $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
  2. $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)$
  3. $\arcsin x=x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
  4. $\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
  5. $\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
  6. $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$
  7. $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$
  8. $(1+x{)}^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}{x}^2+o(x^2)$

两个重要极限

🌟🌟🌟🌟🌟

1. $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$
2. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$

数列极限

一般提到的单调函数指的是单调不增/不减函数，而不是严格单调

• 数列$x_n$ 可看做自变量为正整数 $n$的函数：$x_n=f(n),n\in N_{+}$
• 一些证明数列有界的方法：
  1. 找$M$，使得$|a_n|\le M$
  2. 放缩法
  3. 找最值
  4. 基本不等式法

一些常见数列前n项和

1. $\sum _{k=1}^{n}k=1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$
2. 🌟🌟🌟$\sum _{k=1}^n{k}^2=1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

一个重要数列的结论

1. 数列 $(1+\frac{1}{n}{)}^n$^[5]
2. 该数列递增且有上界
3. $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n=e$

数列极限的定义

数列极限与函数极限的不同

有界性：函数极限的有界性指的是局部有界性，而数列极限的有界性指的是全局有界性 保号性：函数极限强调的也是局部保号性，数列极限虽然没有强调局部保号性，但也要强调存在正整数N，当n>N时才有$a_n>0$(或<0)

• 设$\{x_n\}$为一数列，若存在常数 $a$，对于任意的$\epsilon >0$ （不论它多么小），总存在正整数$N$，使得当$n>N$时，$|x_n-a|<\epsilon$ 恒成立，则称常数$a$ 是数列$\{x_n\}$ 的极限，或者称数列$\{x_n\}$收敛于 $a$，记为：$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$ 或 $x_n\to a(n\to \mathrm{\infty })$
  • 即 $\epsilon -N\mathrm{语}\mathrm{言}$：$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }N>0,\mathrm{使}\mathrm{得}n>N\mathrm{时}，\mathrm{恒}\mathrm{有}|x_n-a|<\epsilon$
    • 当 $a=0$ 时，称 $x_n$ 为 $n\to \mathrm{\infty }$ 时的无穷小量
• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=\mathrm{\infty }\iff$ $\mathrm{\forall }X>0,\mathrm{\exists }N>0$，当$n>N$时，恒有$|x_n|>X$，此时称 $x_n$ 为 $n\to \mathrm{\infty }$ 时的无穷大量

数列收敛与其子列收敛的关系

• 数列收敛 $\Rightarrow$ 其子列一定收敛，并且收敛极限相同
• 🌟🌟子列收敛 $\nRightarrow$ 数列收敛/发散
• 子列发散 $\Rightarrow$ 数列发散
• 两个不同子列收敛于不同的极限值 $\Rightarrow$ 数列发散

极限与绝对值的极限之间的关系

• 数列有：$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=A$ $\Rightarrow$ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}|a_n|=|A|$
• 函数有：$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$ $\Rightarrow$ $\underset{x\to x_0}{lim}|f(x)|=|A|$
  • 若极限值 $A=0$，则两式子均可从右式推得左式，证明可见基础30讲P128

收敛数列的性质

1. 唯一性：数列的极限若存在，则其极限必定唯一
2. 有界性：若数列极限存在，则该数列有界
3. ^[6]保号性：设 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a>b$，则存在$N>0$，当$n>N$时，有$x_n>b$ .若数列$\{x_n\}$ 从某项起有$x_n\ge b$，且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}=a$，则 $a\ge b$ ，其中 $b$ 为任意实数，常考b=0的情形
   • 脱帽解法：
     • $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n>a\Rightarrow x_n>a$ （严格不等）
     • $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n<a\Rightarrow x_n<a$ （严格不等）

极限的四则运算

拆开后的极限也必须存在，才能使用极限的四则运算

🌟🌟🌟🌟🌟海涅定理/归结原则

• 设$f(x)$在 $x_0$ 的去心邻域内有定义，则 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$ 存在 $\iff$ 对任何 $x_0$ 的去心邻域内，以 $x_0$ 为极限的数列 $\{x_n\}(x_n\ne x_0)$，极限 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)=A$ 存在

放缩（常用于夹逼准则）

1. 简单的放缩：
   1. 针对无穷项相加：$n\cdot u_{min}\le u_1+u_2+\cdots +u_n\le n\cdot u_{max},(n\to \mathrm{\infty })$
   2. 针对有限项相加：当 $u_i\ge 0$ 时，$1\cdot u_{max}\le u_1+u_2+\cdots +u_n\le n\cdot u_{max}$
2. 利用重要不等式（待补充，基础30讲P133）^[7]
3. 设 $a\ge b\ge 0$ ，则：
   1. 当 $m>0$ 时，$a^m\ge b^m$
   2. 当 $m<0$ 时，$a^m\le b^m$
      • 即：指数相同时，若指数为正，则底数越大，值越大，否则反之
4. 若 $0<a<x<b,0<c<y<d$ ，则 $\frac{c}{b}<\frac{y}{x}<\frac{d}{a}\Rightarrow c\frac{1}{b}<y\frac{1}{x}<d\frac{1}{a}$
   • 具体例题可见基础30讲P133
5. 基本放缩方法：
   1. $\sin x<x<\tan x(0<x<\frac{\pi }{2})$
   2. $\sin x<x(x>0)$
      • 如：当$x_n>0$ 时，$x_{n+1}=\sin x_n<x_n$，故$\{x_n\}$ 单调减少
   3. $x<\tan x<\frac{4}{\pi }x(0<x<\frac{\pi }{4})$
      • 证明可见习题6.9
   4. $\sin x>\frac{2}{\pi }x(0<x<\frac{\pi }{2})$
   5. $\arctan x\le x\le \arcsin x(0\le x\le 1)$
      • 可考：当 $x_n>0$ 时，$x_{n+1}=\arctan x_n<x_n$ ，故$\{x_n\}$ 单调减少
   6. $e^x\ge x+1(\mathrm{任}\mathrm{意}x)$
      • 可考：当 $x_{n+1}=e^{x_n}-1$ 时，由 $e^{x_n}-1\ge x_n$ ，得 $x_{n+1}\ge x_n$，即：$\{x_n\}$ 单调不减
   7. $x-1\ge \ln x(x>0)$
      • 可考：当 $x_n>0$ 时，若 $x_{n+1}=\ln x_n+1$ ，由 $\ln x_n+1\le x_n$，得 $x_{n+1}\le x_n$，即：$\{x_n\}$ 单调不增
   8. $\frac{1}{1+x}<\ln (1+\frac{1}{x})<\frac{1}{x}(x>0)$ 或 $\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x(x>0)$
      • 中值定理可证明

需要记忆的极限结论

1. $a_i(i=1,2,\cdots ,m)$ 都是非负数，则 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots +a_m^n}=max\{a_1,a_2,\cdots ,a_m\}$

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1. 易错点：极限运算顺序错误 ↩︎

2. 重点记忆：等价无穷小 ↩︎

3. 重点记忆：函数比大小 ↩︎

4. 重点记忆：泰勒公式 ↩︎

5. 记忆：数列重要极限 ↩︎

6. 灵活运用：保号性，脱帽戴帽公式要牢记 ↩︎

7. 待补充 ↩︎