知识点

字数

1036 字

阅读时间

5 分钟

---

一、 🌟🌟🌟基本求导公式^[1]

1. $(x^{\alpha })\prime =\alpha x^{\alpha -1}$ （$\alpha$ 为常数）
2. $(a^x)\prime =a^x\ln a(a>0,a\ne 1)$
3. $(e^x)\prime =e^x$
4. $({\log }_{a}x)\prime =\frac{1}{x\ln a}(a>0,a\ne 1)$
5. $(\ln |x|)\prime =\frac{1}{x}$
   • 有关x取值正负的分类讨论证明可见基础30讲P167
   • “视绝对值而不见”
   • $(\ln |u(x)|)\prime =\frac{u\prime (x)}{u(x)}$
6. $(\sin x)\prime =\cos x$
7. $(\cos x)\prime =-\sin x$
8. $(\arcsin x)\prime =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
9. $(\arccos x)\prime =-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
10. $(\arctan x)\prime =\frac{1}{1+x^2}$
11. $(\tan x)\prime ={\sec }^{2}x$
12. $(\cot x)\prime =-{\csc }^{2}x$
13. $(\text{arccot}x)\prime =-\frac{1}{1+x^2}$
14. $(\sec x)\prime =\sec x\tan x$
15. $(\csc x)\prime =-\csc x\cot x$
    • 前十五点为必背求导公式
16. $[\ln (x+\sqrt{x^2+1})]\prime =\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
17. $[\ln (x+\sqrt{x^2-1})]\prime =\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$

二、四则运算

1. 和、差的导数（微分）：$[u(x)\pm v(x)]\prime =u\prime (x)\pm v\prime (x)$ ； $d[u(x)\pm v(x)]=d[u(x)]\pm d[v(x)]$
2. 积的导数（微分）：$[u(x)v(x)]\prime =u\prime (x)v(x)+u(x)v\prime (x)$ ； $d[u(x)v(x)]=u(x)d[v(x)]+v(x)d[u(x)]$
   • 🌟🌟🌟推导过程：
     • $d[u(x)v(x)]=u\prime (x)v(x)dx+v\prime (x)u(x)dx=v(x)du(x)+u(x)dv(x)$
       • $du=u\prime (x)dx$
     • 导数的证明见基础30讲P167的注解部分
3. 商的导数（微分）：$[\frac{u(x)}{v(x)}]\prime =\frac{u\prime (x)v(x)-u(x)v\prime (x)}{[v(x){]}^2},v(x)\ne 0$ ； $d[\frac{u(x)}{v(x)}]=\frac{v(x)d[u(x)]-u(x)d[v(x)]}{[v(x){]}^2}$
   • 对 $\frac{u}{v}$ 求导，可视为对 $u\cdot \frac{1}{v}$ 求导

三、 复合函数的导数与微分

• 设 $u=g(x)$ 在点 $x$ （没有下标是泛指的点，下同）处可导， $y=f(u)$ 在点 $u=g(x)$ 处可导，则：$[f[g(x)]]\prime =f\prime [g(x)]g\prime (x)$ ，$d\{f[g(x)]\}=f\prime [g(x)]g\prime (x)dx=f\prime [g(x)]d[g(x)]$
  • $df(x)=f\prime (x)dx$ ，把微分d后面的函数值拿出来要先求导
  • $df(\mathrm{狗})=f\prime (\mathrm{狗})d\mathrm{狗}$ ，把狗看做一个整体，可用换元：$df(t)=f\prime (t)dt$
    • 例如：$d(e^{x^2})=e^{x^2}d{x}^2$

四、分段函数的导数

1. 🌟🌟🌟在分段点 $x_0$ 处用导数定义求导
2. 在非分段点用导数公式求导

• 🌟🌟🌟常考：带绝对值的函数，注意在分段点用导数定义求导，判断在该点导数是否存在

五、🌟🌟🌟反函数的导数

• $x=\varphi (y)$， $\varphi \prime (y)=x{\prime }_y$

• $y=f(x)$，$f\prime (x)=y{\prime }_x$

• $y{\prime }_x=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}=\frac{1}{x{\prime }_y}$

🌟🌟🌟重要结论

• $x{\prime }_y=\frac{1}{y{\prime }_x}$
• $x\prime {\prime }_{yy}=-\frac{y\prime {\prime }_{xx}}{(y{\prime }_x{)}^3}$ (详细证明过程可见基础30讲P172)

六、隐函数求导法

• 前提：设 $y=y(x)$ 是由方程 $F(x,y)=0$ 确定的可导函数

1. 方程 $F(x,y)=0$ 两边对自变量 $x$ 求导，注意 $y=y(x)$，即将 $y$ 看做中间变量，得到一个关于 $y\prime$ 的方程
2. 解该方程即可求出 $y\prime$

七、对数求导法

特别注意！！！

要注意区分导数的平方和二阶导数 导数的平方：$(\frac{dy}{dx}{)}^2$ 二阶导数：$[\frac{dy}{dx}]\prime =\frac{d[\frac{dy}{dx}]}{dx}=\frac{d^{2}x}{d{x}^2}$

• 对于多项相乘、想除、开方、乘方的式子，一般先取对数再求导
• 设 $y=f(x)(f(x)>0)$，则
  1. 等式两边取对数，得 $\ln y=\ln f(x)$；
  2. 两边对自变量 $x$ 求导（同样注意 $y=f(x)$，即将 $y$ 看作中间变量），得 $\frac{1}{y}y\prime =[\ln f(x)]\prime$，则$y\prime =\frac{yf\prime (x)}{f(x)}$

八、幂指函数求导法

• 对于$u(x{)}^{v(x)}(u(x)>0，\mathrm{且}u(x)\ne 1)$，除了对数求导法外，还可以先化成指数函数 $u(x{)}^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$ 再进行求导，得：$[u(x{)}^{v(x)}]\prime =[e^{v(x)\ln u(x)}]\prime =u(x{)}^{v(x)}[v\prime (x)\ln u(x)+v(x)\cdot \frac{u\prime (x)}{u(x)}]$

九、🌟🌟🌟🌟🌟高阶导数^[2]

更具体的内容可见基础30讲P176

• 主要方法：
  1. 归纳法：逐次求导，探索规律，得出通式，可见P176的例4.14，有助于理解 $\sin x$ 的高阶导数
     • 常用高阶导数（n 为正整数）：
       1. $(e^{ax+b}{)}^{(n)}=a^n{e}^{ax+b}$
       2. $[\sin (ax+b){]}^{(n)}=a^n\sin (ax+b+\frac{n\pi }{2})$
       3. $[cos(ax+b){]}^{(n)}=a^n\cos (ax+b+\frac{n\pi }{2})$
       4. $[\ln (ax+b){]}^{(n)}=(-1{)}^{(n-1)}{a}^n\frac{(n-1)!}{(ax+b{)}^n}$
       5. $(\frac{1}{ax+b}{)}^{(n)}=(-1{)}^n{a}^n\frac{n!}{(ax+b{)}^{n+1}}$

  2. 莱布尼茨公式： 设 $u=u(x),v=v(x)$ 均 $n$ 阶可导，则 $(u\pm v{)}^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$

  3. 泰勒公式：

贡献者

freeway348

文件历史

最后编辑于 1 分钟前查看完整历史

7039f-math_OJ

11ed8-math_lim

---

1. 重点记忆：求导公式 ↩︎

2. 必考点：高阶导数 ↩︎