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满足不同条件的群的称呼四大条件的具体定义

数学基础

标签
学校课程/信息安全概论
字数
817 字
阅读时间
4 分钟

一、群G

(一)定理

1. 定理一

  • 群里的单位是唯一的

2. 定理二

  • 群的每个元素的逆元是唯一的

(二)性质

  1. ab=acb=c
  2. 方程:ax=b,有唯一解 xG
  3. (ab)1=b1a1
  4. (a1)1=a

二、阿贝尔群(交换群)

定理

1. 定理一

  • 群G是阿贝尔群,当且仅当a,bG,有(ab)2=a2b2

2. 定理二

  • 群G是阿贝尔群,当且仅当a,bG,有(ab)t=atbt

三、子群

(一)定义

  • (G,)是一个群,H 是 G 的非空子集。若(H,)是一个群,则(H,)(G,)的子群

(二)定理

1. 定理一

  • 群的单位元也是子群的单位元

2. 定理二

  • 元素在子群中,其逆元也在子群中

3. 定理三

  • H 是群 G 的非空子集,a,b 都有 ab1H ,则 (H,)(G,) 的子群
    • 其中 b1 是 b 的逆元

4. 定理四

  • H 是群 G 的非空子集,如果 H 是有限集,而群 G 的运算在 H 上满足封闭性,则 (H,)(G,) 的子群

(三)判断条件

  • 非空子集 + 四个条件(封闭性,结合律,单位元,逆元)

(四)如何构建子群

  • (G,) 是一个阿贝尔群,mZ,则Gm:= { am|aG } 是 G 的子群

四、循环群

(一)定义

  • (G,) 是一个群,aG,则<a>:=az|zZ 是由 a 生成的 G 的子群,称 G 为循环群,a 为生成元[1]

(二)定理

1. 定理一

  • 任意循环群都是阿贝尔群

2. 定理二

  • 若群 G 是循环群,那么其子群也都是循环群

五、环

  • (R,+,) 是一个环,则满足以下条件:
    1. 加法满足阿贝尔群:(R,+)
    2. (R,) 满足封闭性,结合律
      • 满足这两种条件的均可称为半群[2]
    3. 满足分配律

其他发展方向

1. 含幺环
  • 环 + 乘法有单位元 含幺环
2. 交换环
  • 环 + 乘法交换律 交换环
3. 除环
  • (R{0},) 是群 除环
  • 一个环当且仅当单位组等于所有非零元的集合的时候它是一个除环
  • 除环 非交换环
4. 域

要点

所有域都是除环

  • (R{0},) 是阿贝尔群

六、域

  • (F,+,) 是一个域,满足以下条件:
    1. 加法满足阿贝尔群
    2. 乘法满足阿贝尔群,(F / { 0 },) (去掉加法单位元 0 )构成一个阿贝尔群
    3. 满足分配律

贡献者

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文件历史


  1. 生成元 ↩︎

  2. 半群 ↩︎

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