满足不同条件的群的称呼四大条件的具体定义

数学基础

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学校课程/信息安全概论

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817 字

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4 分钟

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一、群G

（一）定理

1. 定理一

• 群里的单位是唯一的

2. 定理二

• 群的每个元素的逆元是唯一的

（二）性质

1. $a\ast b=a\ast c\Rightarrow b=c$
2. 方程：$a\ast x=b$，有唯一解 $x\in G$
3. $(a\ast b{)}^{-1}=b^{-1}\ast a^{-1}$
4. $(a^{-1}{)}^{-1}=a$

二、阿贝尔群（交换群）

定理

1. 定理一

• 群G是阿贝尔群，当且仅当$\mathrm{\forall }a,b\in G$,有$(a\ast b{)}^2=a^2\ast b^2$

2. 定理二

• 群G是阿贝尔群，当且仅当$\mathrm{\forall }a,b\in G$,有$(a\ast b{)}^t=a^t\ast b^t$

三、子群

（一）定义

• $(G,\ast )$是一个群，H 是 G 的非空子集。若$(H,\ast )$是一个群，则$(H,\ast )$是$(G,\ast )$的子群

（二）定理

1. 定理一

• 群的单位元也是子群的单位元

2. 定理二

• 元素在子群中，其逆元也在子群中

3. 定理三

• H 是群 G 的非空子集，$\mathrm{\forall }a,b$ 都有 $a\ast b^{-1}\in H$ ，则 $(H,\ast )$ 是 $(G,\ast )$ 的子群
  • 其中 $b^{-1}$ 是 b 的逆元

4. 定理四

• H 是群 G 的非空子集，如果 H 是有限集，而群 G 的运算在 H 上满足封闭性，则 $(H,\ast )$ 是 $(G,\ast )$ 的子群

（三）判断条件

• 非空子集 + 四个条件（封闭性，结合律，单位元，逆元）

（四）如何构建子群

• $(G,\ast )$ 是一个阿贝尔群，$m\in Z$，则$G^m:=$ { $a^m|a\in G$ } 是 G 的子群

四、循环群

（一）定义

• 设 $(G,\ast )$ 是一个群，$a\in G$，则$<a>:=a^z|z\in Z$ 是由 $a$ 生成的 G 的子群，称 G 为循环群，$a$ 为生成元^[1]

（二）定理

1. 定理一

• 任意循环群都是阿贝尔群

2. 定理二

• 若群 G 是循环群，那么其子群也都是循环群

五、环

• $(R,+,\ast )$ 是一个环，则满足以下条件：
  1. 加法满足阿贝尔群：$(R,+)$；
  2. $(R,\ast )$ 满足封闭性，结合律
     • 满足这两种条件的均可称为半群^[2]
  3. 满足分配律

其他发展方向

1. 含幺环

• 环 + 乘法有单位元 $\Rightarrow$ 含幺环

2. 交换环

• 环 + 乘法交换律 $\Rightarrow$ 交换环

3. 除环

• $(R\mathrm{\setminus }\{0\},\ast )$ 是群 $\Rightarrow$ 除环
• 一个环当且仅当单位组等于所有非零元的集合的时候它是一个除环
• 除环 $\in$ 非交换环

4. 域

要点

所有域都是除环

• $(R\mathrm{\setminus }\{0\},\ast )$ 是阿贝尔群 $\Rightarrow$ 域

六、域

• $(F,+,\ast )$ 是一个域，满足以下条件：
  1. 加法满足阿贝尔群
  2. 乘法满足阿贝尔群，$(F$ / { $0$ }$,\ast )$ (去掉加法单位元 $0$ )构成一个阿贝尔群
  3. 满足分配律

贡献者

freeway348

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1. 生成元 ↩︎

2. 半群 ↩︎