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一、 极值点的定义：

• 极值点是局部的概念
• 极值点是左右邻域均有定义（端点处不讨论极值、间断点）
• 常数函数处处都是极值
• 常考“理想”的极值点，即：左邻域递增，右邻域递减；或左邻域递减，右邻域递增
• 间断点也可以是极值点，详情见基础30讲P188

二、单调性和极值的判别

• 设函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 可导，则：
  1. 如果在 $(a,b)$ 内 $f\prime (x)\ge 0$ ，且等号仅在有限个点成立，那么函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上严格单调增加
  2. 如果在 $(a,b)$ 内 $f\prime (x)\le 0$ ，且等号仅在有限个点成立，那么函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上严格单调减少
     • 当在某一点处，连续点A，B，C（微观上）之间的变化率（导数）可能为0，在水平上的差距极其小，但在该点仍然是左小右大
     • 导数大于0，一定严格单增，但严格单增不一定导数大于0，详情解释见基础30讲P188
     • 
  • $f\prime (x_0)>0$ 只代表了在 $x_0$ 这一点上是可导的，是左小右大，无法证明单调性，且无法证明其他点的单调性

判断不可导点是否为极值点

• 只需要看该点左右的单调性即可

1. 一阶可导时，一阶可导点是极值点的必要条件

证明：第六讲，费马定理

• 🌟设$f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导，且在点 $x_0$ 处取得极值，则必有 $f\prime (x_0)=0$
• 🌟🌟🌟找极值时的两种情况：1. 驻点；2. 不可导点^[1]
  • 驻点：$f\prime (x_0)=0$
  • 不可导点：$f\prime (x_0)$ 不存在

2. 极值的第一充分条件

• 设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续，且在 $x_0$ 的某去心邻域 $\mathring{U}(x_0,\delta )(\delta >0)$ 内可导

1. 若 $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ 时，$f\prime (x)<0$，而 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 时，$f\prime (x)>0$，则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极小值
2. 若 $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ 时，$f\prime (x)>0$，而 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 时，$f\prime (x)<0$，则 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极大值
3. 若 $f\prime (x)$ 在 $(x_0-\delta ,x_0)$ 和 $(x_0,x_0+\delta )$ 内不变号，则点 $x_0$ 不是极值点
   • 换言之，只要变号了，则点 $x_0$ 是极值点

注

$f(x)$在$x=x_0$处不一定可导，可能出现角点

3. 极值的第二充分条件

• 设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处二阶可导，且 $f\prime (x_0)=0,f\prime \prime (x_0)\ne 0$

1. 若 $f\prime \prime (x_0)<0$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值
2. 若 $f\prime \prime (x_0)>0$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值

• 🌟借助保号性推导：
  • 设 $f\prime \prime (x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\prime (x)-f\prime (x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\prime (x)}{x-x_0}>0$，由保号性可知：
    1. 当 $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ 时，$x-x_0<0$，从而 $f\prime (x)<0$，所以$f(x)$ 在$x_0$ 的左邻域单调递减
    2. 当 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 时，$x-x_0>0$，从而 $f\prime (x)>0$，所以$f(x)$ 在$x_0$ 的左邻域单调递增 所以 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极小值
  • 同理：当 $f\prime \prime (x_0)<0$ 时，$f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极大值

4. 极值的第三充分条件

第三充分条件可以说是第二充分条件的推广

• 设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处n阶可导，且 $f^{(m)}(x_0)=0(m=1,2,\cdots ,n-1),f^{(n)}(x_0)\ne 0(n\ge 2)$ （注意：m是从1开始取的）

1. 当n为偶数且 $f^{(n)}(x_0)<0$ 时，$f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值
2. 当n为偶数且 $f^{(n)}(x_0)>0$ 时，$f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值

注

1.对平方开根号需要注意：$\sqrt{u^2}=|u|$ 而非 u 2.使用举例方式仅能排除选项而不能证明选项

5. 第二充分条件的注意事项

• 
• 如例5.2，若我们已知 $f\prime \prime (x_0)<0$，则可利用第二充分条件判断 $x=x_0$ 为极大值，但需注意，该结论是充分条件，而不是必要条件，故无法反推，所以例5.2不能用该结论反推，因为可能存在 $f(x)$ ，使得 $f\prime \prime (x_0)=0$，并且往后导数值均为0，直到某一偶数阶导数 $f^{(2n)}(x_0)<0$，这种情况下，仍能得到该例题的条件，所以应该选择选项 $B.f\prime \prime (x_0)\le 0$

三、凹凸性和拐点

1. 凹凸性和拐点的定义^[2]

2. 凹凸性与拐点的判别

（1）凹凸性判别

设函数 $f(x)$ 在 $I$ 上二阶可导

1. 若在 $I$ 上 $f\prime \prime (x)>0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凹的
2. 若在 $I$ 上 $f\prime \prime (x)<0$，则 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是凸的

(2)二阶可导时，二阶可导点是拐点的必要条件

🌟设 $f\prime \prime (x_0)$ 存在，且点 $(x_0,f(x_0))$ 为曲线的拐点，则 $f\prime \prime (x_0)=0$ 🌟🌟🌟同样的，找拐点也是在二阶导为 0 和不可导点 （二阶导不存在）中寻找判断^[3]

（3）🌟判断拐点的第一充分条件 ----- 最常用^[4]

• 设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续，且在 $x_0$ 的某去心邻域 $\mathring{U}(x_0,\delta )$ 内二阶导数存在，且在该点的左、右邻域内 $f\prime \prime (x)$ 变号（无论是否由正变负，还是由负变正），则点 $(x_0,f(x_0))$ 为曲线的拐点

为什么拐点需要在 $x=x_0$ 的**邻域**内二阶可导

因为拐点是凹弧和凸弧的分界点，而凹弧和凸弧的定义又需要用到二阶导数，所以需要在拐点的邻域内二阶可导，判断是否在左、右邻域变号，即可判断是否是凹凸性发生了变化

（4）判断拐点的第二充分条件

• 设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 的某邻域内三阶可导，且 $f\prime \prime (x_0)=0,f\prime \prime \prime (x_0)\ne 0$ ，则点 $(x_0,f(x_0))$ 为曲线的拐点
  • 同样的，可以用保号性进行推导证明，具体过程可参考极值的第二充分条件，或可见基础30讲P194

（5）判断拐点的第三充分条件

• 设 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处n阶可导，且 $f^{(m)}(x_0)=0(m=2,\cdots ,n-1),f^{(n)}(x_0)\ne 0(n\ge 3)$ （注意：m是从2开始取的，注意与极值的第三充分条件区分）^[5]
  • 因为拐点不对一阶导数作要求，所以m从2开始取
• 当n为奇数时，点 $(x_0,f(x_0))$ 为拐点

四、🌟🌟🌟极值点和拐点的重要结论^[6]

以下结论均可直接使用，不必证明

1. 曲线的可导点不可同时为极值点和拐点(参考例5.5)；曲线的不可导点可以同时为极值点和拐点
2. 设多项式函数 $f(x)=(x-a{)}^{n}g(x)(n>1)$，且 $g(a)\ne 0$，则当 $n$ 为偶数时，$x=a$ 是 $f(x)$ 的极值点；当 $n$ 为奇数时，点 $(a,0)$ 是曲线 $f(x)$ 的拐点
3. 设多项式函数 $f(x)=(x-a_1{)}^{n_1}(x-a_2{)}^{n_2}\cdots (x-a_k{)}^{n_k}$，其中 $n_i$ 是正整数， $a_i$ 是实数且 $a_i$ 两两不等，$i=1,2,\cdots ,k$
   • $k_1$：一次幂的多项式因式个数
   • $k_2$：偶数次幂的因式个数
   • $k_3$：奇数次幂的因式个数(n>1)
   • $f(x)$ 的极值点个数：$k_1+2k_2+k_3-1$，拐点个数：$k_1+2k_2+3k_3-2$

• 常规结论：$\alpha$ 是 $f(x)=0$ 的 $m$ 重根 $(m\ge 1)$ ，则 $\alpha$ 是 $f\prime (x)=0$ 的 $m-1$ 重根

五、渐近线

1. 铅直渐近线（铅垂渐近线）

• 若 $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$ （或$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$），则 $x=x_0$ 为一条铅直渐进线

注

此处的 $x_0$ 是：

1. 无定义点
2. 函数定义区间的端点
3. 分段函数的分段点

2. 水平渐进线

• 若 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}=y_1$，则 $y=y_1$ 为一条水平渐近线；若 $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}=y_2$，则 $y=y_2$ 为一条水平渐近线
• 若 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=y_0$，则 $y=y_0$ 为一条水平渐近线（当函数的左、右无穷远极限均相等时）

3. 斜渐近线

求解渐近线的步骤图解^[7]：

六、最值和取值范围

1. 最值的定义

最值是整体概念，有别于极值（极值是局部概念）

• 定义：设 $x_0$ 为 $f(x)$ 定义域内一点，若对于 $f(x)$ 的定义域内任意一点 $x$，均有 $f(x)\le f(x_0)$（或$f(x)\ge f(x_0)$）成立，则称 $f(x_0)$ 为 $f(x)$ 的最大值（或最小值）

极值和最小值的关系

极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点^[8]

• 🌟🌟如果 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有最值点 $x_0$，并且此最值点 $x_0$ 不是区间 $I$ 的端点，而是 $I$ 内部的点，那么此 $x_0$ 必是 $f(x)$ 的一个极值点^[9]

2. 求闭区间上连续函数的最大值和最小值

连续函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上，求最大值和最小值

1. 求出可疑点的函数值（驻点和不可导点）
2. 求出端点的函数值 $f(a)$ 和 $f(b)$
3. 比较以上得到的所有函数值，即可得出最大值和最小值

3. 求开区间上连续函数的最大值和最小值

连续函数 $f(x)$ 在区间 $(a,b)$ 上，求最大值和最小值

1. 求出可疑点的函数值（驻点和不可导点）
2. 求出区间两端的单侧极限，若 $a,b$ 为有限常数，则求 $\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)$ 和 $\underset{x\to b^{-}}{lim}f(x)$（根据区间范围，注意左、右极限）
3. 比较以上得到的所有函数值，即可得出最大值和最小值

七、作函数图像

一般作图步骤为：

1. 确定定义域，考察函数是否有奇偶性，周期性，并用好图像变换（见附录1）
2. 用导数工具（一阶导数确定函数的单调区间、极值点；二阶导数确定曲线的凹凸区间、拐点）
3. 渐近线
4. 作图

注

要学会用直角坐标系的观点画极坐标的图（30讲P205），如：r 作为竖轴，θ 作为横轴，画出变化曲线，根据变化趋势用描点法画出其在极坐标下的图像

八、曲率及曲率半径^[10]

• 曲率代表曲线的弯曲程度，曲率越大，弯曲程度越大，能画出的切线圆越小
• 设 $y(x)$ 二阶可导，则曲线 $y=y(x)$ 在点 $(x,y(x))$ 处的曲率公式为：$k=\frac{|y\prime \prime |}{[1+(y\prime {)}^2{]}^{\frac{3}{2}}}$
• 曲率半径：$R=\frac{1}{k}$

本章使用到的恒等变形

1. $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\ln (1+e^x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\ln [e^x(1+e^{-x})]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[x+\ln (1+x^{-x})]$
   • 第二步变为 x 是因为 $\ln e^x=x$

贡献者

freeway348

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e5b7e-math_algo

007c7-math

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1. 极值点存在的可能情况 ↩︎

2. 拐点和凹凸性的定义，需要根据定义来理解以下的充分条件和必要条件，极值点也一样需要结合定义来理解 ↩︎

3. 拐点存在的可能情况，需要注意的是，并不是只有二阶可导点为0的情况下才存在拐点 ↩︎

4. 判别拐点最常用的条件 ↩︎

5. 区分拐点的第三充分条件和极值点的第三充分条件 ↩︎

6. 🌟🌟🌟重点记忆背诵 ↩︎

7. 重点：求解渐近线 ↩︎

8. 极值点和最值点的关系 ↩︎

9. 特殊条件下，最值点可以是极值点 ↩︎

10. 重点：曲率公式 ↩︎