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一、中值定理

1. 涉及函数的中值定理

• 设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续（极限存在且等于函数值），则：
  1. 有界与最值定理： $m\le f(x)\le M,$ 其中 $m,M$ 分别为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值和最小值
  2. 介值定理：当 $m\le \mu \le M$ 时，存在 $\xi \in [a,b]$，使得 $f(\xi )=\mu$
  3. 平均值定理：当 $a<x_1<x_2<\cdots <x_n<b$ 时，在 $[x_1,x_n]$ 内至少存在一点 $\xi$，使得 $f(\xi )=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)}{n}$
     • 证明：
       1. $m\le f(x_1)\le M$
       2. $m\le f(x_2)\le M$
       3. $\cdots$
       4. $m\le f(x_n)\le M$
       5. 上式所有相加得：$n\cdot m\le f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)\le n\cdot M$ ，两边同时除 $n$ 可得： $m\le \frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)}{n}\le M$，则存在 $\xi \in [x_1,x_n]\subset [a,b]$ ，使得该结论成立
  4. 零点定理：当 $f(a)\cdot f(b)<0$ 时，存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f(\xi )=0$
     • 推广的零点定理：若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续，$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\alpha$，$\underset{x\to b^{-}}{lim}f(x)=\beta$，且 $\alpha \cdot \beta <0$，则 $f(x)=0$ 在 $(a,b)$ 内至少存在一个根。其中，$a,b,\alpha ,\beta$ 可以是有限数，也可以是无穷大

2. 函数形式需要考虑的变化

二、 涉及导数（微分）的中值定理

1. 费马定理

1. 费马定理：设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处满足1. 可导，2. 取极值，则 $f\prime (x_0)=0$
   • 需要注意的是，若函数仅在有限区间内可导，则要注意，此时函数在端点处取不到极值，因为极值存在需要在该点有左、右导数，考虑极值点时需要避开端点
   • 费马定理的证明：
     • 图中的"可导$\to$" 有误，删去，正确说明应该是：得出左右导数的范围后，由于 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导，故可得左右导数相等，所以只能得到 $f\prime (x_0)=0$

2. 导数零点定理

1. 导数零点定理：

3. 🌟🌟🌟罗尔定理

1. 🌟🌟🌟罗尔定理^[1]：设 $f(x)$ 满足如下条件：
   1. 在 $[a,b]$ 上连续，（函数在端点上也有定义，在左端点右连续，右端点左连续）
   2. 在 $(a,b)$ 内可导，
   3. $f(a)=f(b)$， 则存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f\prime (\xi )=0$ （必须同时满足三个条件才可得出该结论）

• 推广的罗尔定理：设 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导，$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=\underset{x\to b^{-}}{lim}f(x)=A$，则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使 $f\prime (\xi )=0$，其中区间 $(a,b)$ 可以是有限区间也可以是无穷区间，$A$ 可以是有限数也可以是无穷大（同号）
  • 罗尔定理的使用往往需要构造辅助函数，总结如下：^[2]
    1. 简单情形：题设 $f(x)$ 为辅助函数（研究对象）
    2. 复杂情形：一般只会考简单情形和乘积求导逆用
       1. 乘积求导公式 $(uv)\prime =u\prime v+uv\prime$ 的逆用
          1. $[f(x)f(x)]\prime =[f^2(x)]\prime =2f(x)\cdot f\prime (x)$
             • 见到 $f(x)f\prime (x)$，令 $F(x)=f^2(x)$
          2. $[f(x)\cdot f\prime (x)]\prime =[f\prime (x){]}^2+f(x)f\prime \prime (x)$
             • 见到 $[f(x)\cdot f\prime (x)]\prime =[f\prime (x){]}^2+f(x)f\prime \prime (x)$，令 $F(x)=f(x)f\prime (x)$
          3. $[f(x)e^{\varphi (x)}]\prime =f\prime (x)e^{\varphi (x)}+f(x)e^{\varphi (x)}\cdot \varphi \prime (x)=[f\prime (x)+f(x)\varphi \prime (x)]e^{\varphi (x)}$
             • 见到 $f\prime (x)+f(x)\varphi \prime (x)$，令 $F(x)=f(x)e^{\varphi (x)}$ ，常考以下形式：
               1. $\varphi (x)=x\Rightarrow$见到 $f\prime (x)+f(x)$，令 $F(x)=f(x)e^x$
               2. $\varphi (x)=-x\Rightarrow$见到 $f\prime (x)-f(x)$，令 $F(x)=f(x)e^{-x}$
               3. $\varphi (x)=kx\Rightarrow$见到 $f\prime (x)+kf(x)$，令 $F(x)=f(x)e^{kx}$
             • $(uv)\prime \prime =u\prime \prime v+2u\prime v\prime +uv\prime \prime$ （莱布尼茨公式展开）也有可能考到
       2. 商的求导公式 $[\frac{u}{v}]\prime =\frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}$的逆用
          1. $[\frac{f(x)}{x}]\prime =\frac{f\prime (x)x-f(x)}{x^2}$
             • 见到 $f\prime (x)x-f(x),x\ne 0$，令 $F(x)=\frac{f(x)}{x}$
          2. $[\frac{f\prime (x)}{f(x)}]\prime =\frac{f\prime \prime (x)f(x)-[f\prime (x){]}^2}{f^2(x)}$
             • 见到 $f\prime \prime (x)f(x)-[f\prime (x){]}^2,f(x)\ne 0$，令 $F(x)=\frac{f\prime (x)}{f(x)}$
          3. $[\ln f(x)]\prime =\frac{f\prime (x)}{f(x)}$，故 $[\ln f(x)]\prime \prime =[\frac{f\prime (x)}{f(x)}]\prime =\frac{f\prime \prime (x)-[f\prime (x){]}^2}{f^2(x)}$
             • 见到 $f\prime (x)x-f(x),f(x)>0$，也可考虑令 $F(x)=\ln f(x)$
             • 注意条件，若均满足，则可选择第二种或第三种逆用其一均可
  • 看一下例题6.5（P216），虽然考研中可能不会出现那么难的辅助函数构造，但练习阶段可以做一下加深印象
  • 若遇到 $f^{(n)}(\xi )=0$，用罗尔定理的可能性更大；若遇到 $f^{(n)}(\xi )\ne 0$，用泰勒公式的可能性更大

4. 🌟🌟🌟拉格朗日中值定理

1. 🌟🌟🌟拉格朗日中值定理^[3]： 设 $f(x)$ 满足如下条件：
   1. 在 $[a,b]$ 上连续，
   2. 在 $(a,b)$ 内可导 则存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f(b)-f(a)=f\prime (\xi )(b-a)$ 或 $f\prime (\epsilon )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ （$a<\xi <b$）

• 注意记忆拉格朗日中值定理的作用^[4]

解题思路！！！

遇到如 $\frac{f(x)}{x}$（即：$\frac{f(b)}{b}$） 的形式，可以考虑 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，证明 $f(a)=0,a=0$， 并应用拉格朗日中值定理 遇到需要联系 $f$ 和 $f\prime$ 的题目，需要想到拉格朗日中值定理

• 详细的拉格朗日例题可见P218 例6.8

5. 🌟🌟🌟柯西中值定理

柯西中值定理与拉格朗日中值定理条件相似，可结合记忆

6. 泰勒公式

1. 带拉格朗日余项的n阶泰勒公式：
   • 设$f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内n+1阶导数存在（区间内），则对该邻域内的任意点x，有：$f(x)=f(x_0)+f\prime (x_0)(x-x_0)+\cdots +\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n+\frac{f^{(n+1)(\xi )}}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{(n+1)}$
   • 其中 $\xi$ 介于 $x,x_0$ 之间，即：$\xi$ 在 $x_0$ 的邻域内
   • 该公式适用于区间 $[a,b]$，常在证明题中使用，如：证不等式，中值等式等
2. 带佩亚诺余项的n阶泰勒公式：
   • 设$f(x)$ 在点 $x_0$ 处n阶可导（局部，即：仅 $x_0$ 这一点），则存在 $x_0$ 的一个邻域，对于该邻域内的任意点x，有：$f(x)=f(x_0)+f\prime (x_0)(x-x_0)+\cdots +\frac{1}{n!}{f}^{(n)}(x_0)(x-x_0{)}^n+O((x-x_0{)}^n)$
   • 该公式仅适用于点 $x=x_0$ 及其邻域，常用于研究点 $x=x_0$ 处的某些结论

注

当 $x_0=0$ 时的泰勒公式称为麦克劳林公式，也就是说，以前记的泰勒公式其实是特殊的泰勒公式，即：麦克劳林公式

三、微分等式

方程f(x)=0的根就是函数f(x)的零点，也是两条曲线的交点

注

以下几个结论常结合一起使用，用于证明如：函数在某区间内恰好有几个根，此类的问题

1. 零点定理（证明根的存在性）

• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)f(b)<0$，则 $f(x)=0$ 在 $(a,b)$ 内至少有一个根

2. 单调性（证明根的唯一性）

• 若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内单调，则 $f(x)=0$ 在 $(a,b)$ 内至多有一个根，这里区间 $(a,b)$ 可以是有限区间，也可以是无穷区间

3. 罗尔定理及其推论

• 当不易使用零点定理时，可以使用罗尔定理。
• 罗尔定理推论如下：若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上 $n$ 阶可导，且 $f^{(n)}(x)\ne 0$，即：$f^{(n)}(x)=0$ 无实根（至多有0个根），于是 $f(x)=0$ 至多有 $n$ 个根，如：$f\prime \prime \prime (x)\ne 0$，则 $f(x)=0$ 至多有三个根（以阶数换个数）
  • 推论的证明如下：

4. 实数系奇次方程至少有一个实根（最高次幂为奇数次）

• 设 $f(x)=x^{2n+1}+a_1{x}^{2n}+\cdots +a_{2n}x+a_{2x+1}$ ，则 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=+\mathrm{\infty }$，$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=-\mathrm{\infty }$，由$f(x)$ 的连续性及推广的零点定理，易知：存在 $\xi \in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$，使 $f(\xi )=0$，即：$f(x)=0$ 至少有一个实根

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49d91-Update 1. 知识点.md

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1. 🌟🌟🌟考研数学频率最高的定理之一 ↩︎

2. 🌟🌟🌟罗尔定理可能需要构造的辅助函数，同时，构造的辅助函数也可用于拉格朗日中值定理 ↩︎

3. 🌟🌟🌟考察频率最高：拉格朗日中值定理 ↩︎

4. 拉格朗日中值定理的作用 ↩︎